几道题目
(答案在最后)
1.(1)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{2023}{2020}$，且对于任意的正整数$n$，都有$a_n=\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}$.若正整数$k$使得$k>\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}$对任意的正整数成立，则整数$k$的最小值为__________.
(2)在数列$\{a_n\}$中，$a_1=3,a_{n+1}=1+a_1\cdot{a_2}\cdot{a_3}\cdot{…}\cdot{a_n}$，记$T_n$为数列$\{\dfrac{1}{a_n}\}$的前$n$项和，且$T_n < M$对一切正整数$n$成立，则实数$M$的最小值为__________.
2.(1)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$y=f(x)$满足对任意$x_1<x_2$，都成立$\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>a$.有下列两个命题：①当$a>0$时，存在$f(x)$，使得$f(a)=0$；②对任意实数$a$，关于$x$的方程$f(a-x)+ax=a^2$都有唯一解.则正确的是__________.
(2)已知函数$y=f(x)$满足：对任意$x_1,x_2\in{\mathbf{R}},x_1+x_2\not ={0}$，都有$\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>0$，且函数图像是一条连续曲线，若$y=f(x)$在$\mathbf{R}$上是严格增函数，求证：$y=f(x)$是奇函数.
3.设定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$，对任意不同的两个实数$x_1、x_2,|f(x_1)-f(x_2)|<|x_1-x_2|$均成立，且存在$x_0$，使$f(x_0)=x_0$.若数列$\{a_n\}$满足$a_1<x_0$，且$f(a_n)=2a_{n+1}-a_n(n\in{\mathbf{N^{*}}})$.
有下列两个命题：①对于$n\in{\mathbf{N^{*}}},a_n<x_0$恒成立；②：对于$n\in{\mathbf{N^{*}}},a_n<a_{n+1}$恒成立.
则正确的是__________.
压轴题
2018宝山一模21被认为是最难21…
答案
1.(1)674 (2)$\dfrac{2}{3}$
2.(1)② (2)略（2024虹口二模21）
3.(1)①②