待解决的问题

记录整理一些待解决的问题，其中部分是尚未学到所需知识，部分是没有想到/搜到解决方法。

设$X$是$\mathbb{C}$或者$\mathbb{R}$上的Banach空间，$A,B$是$X$上的有界线性算子，则$AB-BA\ne I$.

下题见： 卓里奇《数学分析》习题

证明：若函数$f\in C^\infty[a,b]$，并且$$\forall x\in[a,b]\exist n\in \mathbb{N}\forall m>n(f^{(m)}(x)=0),$$则$f$是多项式.

证明：$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}(1-x)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^n x^{2^n}=\dfrac{1}{\ln{2}}$$