2023年普通高中学业水平模拟测试

《2023年普通高中学业水平模拟测试》是一款由“未来教研之星”教研室牵头组织的考试，在公众号“sjd的数学笔记”中首发。下面展示其中几道题目。

12.在平面直角坐标系中，将存在点集$\Omega=\{(x,y)|x\leqslant0且y\leqslant0\}$的区域设为$\Omega$. 设$n$为正整数，$P_1、P_2、\cdots、P_n$为圆$C:(x-1)^2+(y-1)^2=r^2(r\geqslant2)$的$n$等分点.若对任意的$r\geqslant2$，均至少存在一段$\overgroup{P_{i}P_{j}}$在$\Omega$内，则$n$的最小值为_______.

20.已知椭圆$\Gamma:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为$F(x_F,y_F), P(x_P,y_P)$为$\Gamma$上一点，过$P$的直线交动直线$y=m (m>0)$于$M(x_M,m).$
（1）当$m=4$且$y_P=1$时。$l$经过$F$，求$M$的坐标；
（2）已知$x_F=x_P$，设直线$y=m$交$y$轴于$Q$，若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{3}$且$\triangle{PMQ}$为等腰三角形，求$m$的值；
（3）已知$m=6$，若对任意的$P, F$到$l$的距离始终为$\sqrt{2}$，求$x_M$的最大值.

21.设全集为$\mathbf{U}$，函数$y=f_n(x)$是关于$x$的函数“函数组”，其定义域为$\mathbf{D}$，当$n$取$\mathbf{U}$中不同的数值时可以得到不同的函数，例如：定义域为$\mathbf{R}$的函数$f_n(x)=nx$，当$\mathbf{U}=\mathbf{R}$时，则有$f_1(x)=x, f_2(x)=2x\cdots$.若存在非空集合$\mathbf{A}\subseteq\mathbf{U}$满足：当且仅当$n\in{\mathbf{A}}$时，函数$f_n(x)$在$\mathbf{D}$上存在零点，则称$f_n(x)$是$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”.
（1）判断下列函数是否为$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”？（直接写出答案）
  $\textcircled{1}g_n(x)=nx^2+4x+n, \mathbf{D}=\mathbf{R}, \mathbf{U}=\mathbf{N}, \mathbf{A}=\{0,1,2\}$;
  $\textcircled{2}h_n(x)=2^x+n^2, \mathbf{D}=(-\infty,2], \mathbf{U}=\mathbf{Z}, \mathbf{A}=\{1,2\}$;
（2）设$f_n(x)=4nx^3-(6n+1)x^2+2x, \mathbf{D}=(1,+\infty)$，若不存在$\mathbf{A}$使其为$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”，求出所有$\mathbf{U}$的并集；
（3）设$\mathbf{U}$为正整数集，已知$f_n(x)$是$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”，$\mathbf{D}=(1,+\infty), f_1(x)=2-\dfrac{1}{x}$，若对任意的$n$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+(1-x)^n+1$均成立，证明：$A=\{n|n=2k且k为正整数\}$.并确定$a$的最大值，使对任意的$n\in{\mathbf{A}}, f_n(x)$的零点$t_n>a$成立.